第五章：微分方程重点方法
一、微分方程种类以及解法
1、变量可分离方程
通俗解释:可以把两个变量分别分开放到方程的两边
形式：$f(x)dx=g(y)dy$
方法：直接对两边各自的变量求积分
2、齐次方程
通俗解释:分子分母各项的x和y次数相同
形式：
$$\frac{dy}{dx}=g (\frac{y}{x})\tag{1}$$
方法：
作代换，令$u=\frac{y}{x}$，即$y=ux$，把u看作关于x的一个函数（当然也和y有关），然后对x求导。(1)式变成了：
$$\frac{dy}{dx}=g (\frac{y}{x})=g(u)\tag{2}$$
根据求导法则（前导后不导+后导前不导）得：
$$\frac{dy}{dx}=xdu+u\tag{3}$$
把（2）（3）两个式子的右边划等号，得到：
$$\frac{du}{dx}=\frac{g(u)-u}{x}\tag{4}$$
发现（4）式只剩关于u和x，而且可以分离，问题转化为变量可分离方程问题，按照之前那么写就好了。
2.1、变态版齐次方程
相对于普通版的其次方程，多了点常数出来，形式：
$$\frac{dy}{dx}=f (\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}})\tag{5}$$
方法：
既然多了点常数出来就想方设法把常数消掉。
所以我们采用移轴法，消掉常数$c_{1},c_{2}$
首先求出（5）式的分子分母所代表的两条直线交点，将交点移到原点即可削去常数。
移轴
移轴应该该看点而不是看轴，想把原来的坐标系$xoy$中$(a,b)$移动到原点$(0,0)$，原来$xoy$中$(a,b)$在新的坐标系$x’oy’$中：对应$(0’,0’)$（’表示在新的坐标系中的坐标）。然后找出点的对应关系
$$\left{\begin{aligned}x=x’+a \y=y’+b\end{aligned}\right. $$
为了方便区分，把$x’,y’$记作$X’,Y’$
然后就变成这样了↓
$$\frac{dY}{dX}=f (\frac{a_{1}’X+b_{1}’Y}{a_{2}’X+b_{2}’Y})\tag{6}$$
分子分母同时除以X就行转化为普通版的齐次问题
补充：（种群）增长与衰减模型
理想情况下：
$$\frac{dP}{dt}=aP(t)$$
$$P(t_{0})=P_{0}$$
得到模型：(P0是t=t0时的种群数量，)
$$P(t)=P_{0}e^{a(t-t_{0})}$$
非理想情况下：（逻辑率方程）
$$\frac{dP}{dt}=aP-bP^2$$
$-bP^2$的原因是两两个体间的相互影响
最终表达式：
$$P(t)=\frac{aP_{0}}{bP_{0}+(a-bP_{0})e^{-a(t-t{0})}}$$
$${ \lim_{t \to +\infty} P(t)=\frac{a}{b}}$$
$\frac{a}{b}$就是常说的环境承载量
3、一阶线性微分方程
分类：线性齐次方程&线性非齐次方程
一般形式
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
如果Q（x）=0（没有单独出来的含有y的项）
则是线性齐次方程，线性齐次方程可以直接转化为变量可分离方程来解。
如果Q（x）≠ 0
则是非线性齐次方程，重点说明怎么解这种。
